جواب کاردرکلاس صفحه 19 حسابان دوازدهم

پاسخ تشریحی و گام به گام کار در کلاس 1 صفحه 19 حسابان دوازدهم سلام! برای پیدا کردن باقی‌مانده تقسیم یک چندجمله‌ای بر یک دوجمله‌ای خطی مثل $2x+1$، بهترین و سریع‌ترین روش استفاده از **قضیه باقی‌مانده (Remainder Theorem)** است. این قضیه شما را از انجام تقسیم طولانی بی‌نیاز می‌کند. 🎉 --- ### 💡 قضیه باقی‌مانده باقی‌مانده تقسیم چندجمله‌ای $f(x)$ بر دوجمله‌ای **$(ax - b)$**، برابر است با $f\left(\frac{b}{a}\right)$. ### مراحل حل #### گام 1: یافتن ریشه مقسوم‌علیه مقسوم‌علیه ما $p(x) = 2x + 1$ است. برای استفاده از قضیه باقی‌مانده، باید ریشه آن را (یعنی مقداری که آن را صفر می‌کند) پیدا کنیم: $$2x + 1 = 0$$ $$2x = -1$$ $$x = -\frac{1}{2}$$ #### گام 2: محاسبه باقی‌مانده باقی‌مانده تقسیم $f(x) = x^3 + x - 2$ بر $2x + 1$ برابر است با $f\left(-\frac{1}{2}\right)$. حالا این مقدار را در تابع جایگزین می‌کنیم: $$f\left(-\frac{1}{2}\right) = \left(-\frac{1}{2}\right)^3 + \left(-\frac{1}{2}\right) - 2$$ #### گام 3: ساده‌سازی و محاسبه نهایی $$\left(-\frac{1}{2}\right)^3 = -\frac{1^3}{2^3} = -\frac{1}{8}$$ $$f\left(-\frac{1}{2}\right) = -\frac{1}{8} - \frac{1}{2} - 2$$ برای جمع کردن کسرها، مخرج مشترک 8 می‌گیریم: $$f\left(-\frac{1}{2}\right) = -\frac{1}{8} - \frac{1 \times 4}{2 \times 4} - \frac{2 \times 8}{1 \times 8}$$ $$f\left(-\frac{1}{2}\right) = -\frac{1}{8} - \frac{4}{8} - \frac{16}{8}$$ $$f\left(-\frac{1}{2}\right) = \frac{-1 - 4 - 16}{8} = \frac{-21}{8}$$ **پاسخ نهایی:** باقی‌مانده تقسیم برابر است با $\mathbf{-\frac{21}{8}}$.

پاسخ تشریحی و گام به گام کار در کلاس 2 صفحه 19 حسابان دوازدهم این سوال کاربردی از **قضیه باقی‌مانده** است که از آن برای یافتن یک پارامتر مجهول ($a$) استفاده می‌کنیم. نکته کلیدی در اینجا مفهوم **بخش‌پذیری** است. --- ### 💡 قضیه باقی‌مانده و بخش‌پذیری * یک چندجمله‌ای $f(x)$ بر $(x - a)$ **بخش‌پذیر** است، اگر و تنها اگر **باقی‌مانده تقسیم برابر با صفر** باشد، یعنی $f(a) = 0$. ### مراحل حل #### گام 1: یافتن ریشه مقسوم‌علیه چندجمله‌ای مقسوم‌علیه ما $p(x) = x - a$ است. ریشه آن را پیدا می‌کنیم: $$x - a = 0 \implies x = a$$ #### گام 2: اعمال شرط بخش‌پذیری چون گفته شده $f(x) = x^3 + ax^2 - 2$ بر $x - a$ بخش‌پذیر است، باید باقی‌مانده تقسیم صفر باشد. پس: $$f(a) = 0$$ #### گام 3: جایگذاری و حل معادله برای $a$ $$f(a) = (a)^3 + a(a)^2 - 2 = 0$$ عبارت را ساده می‌کنیم: $$a^3 + a^3 - 2 = 0$$ $$2a^3 - 2 = 0$$ حالا معادله را برای $a$ حل می‌کنیم: $$2a^3 = 2$$ $$a^3 = \frac{2}{2}$$ $$a^3 = 1$$ برای یافتن $a$ از دو طرف ریشه سوم می‌گیریم: $$a = \sqrt[3]{1} \implies a = 1$$ **پاسخ نهایی:** مقدار $a$ برابر با **1** است.